Hej!
Även om ni inte har skrivit något kontrakt har ni ett muntligt avtal. I de fall avtalet inte innehåller bestämmelser om vissa saker, fyller man ut avtalet med lagbestämmelser istället. Det är alltså inte så att man kan göra som man vill bara för att inget särskilt har avtalats.
Den relevanta lagen i detta fall är jordabalkens 12 kapitel (kallas ibland även hyreslagen), som du kan läsa http://www.lagen.nu/1970:994#k12 . Uppsägningstiden för hyreskontrakt enligt denna lag är, precis som din hyresvärd säger, 3 månader (se 4 §, http://www.lagen.nu/1970:994#k12p4 ). Dessutom räknas detta från det månadsskifte som kommer närmast efter uppsägningen. Detta innebär att om du säger upp hyresavtalet idag, så börjar de tre månaderna att löpa från månadsskiftet september/oktober, och du har rätt att frånträda lägenheten den 31 december.
Glöm inte heller att uppsägningen enligt 8 § (som finns http://www.lagen.nu/1970:994#k12p8 ) ska vara skriftlig!
Med vänlig hälsning